Fizyka.kopernik.mielec.pl - serwis fizyczny
Definicja logarytmu

Niech a i b będą liczbami dodatnimi oraz .

Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę logarytmowaną b.




Wartość logarytmu może być dodatnia, ujemna lub równa zero. Z określenia logarytmu wynikają podane niżej własności:



gdzie: .

Z definicji logarytmu wynikają natomiast następujące równości:



gdzie: .

Logarytmem naturalnym nazywamy logarytm o podstawie e . Liczbę e definiuje się następująco: . Jest to liczba niewymierna. Do obliczeń często przyjmujemy:

lub


Funkcja logarytmiczna

Niech . Funkcję daną wzorem , gdzie , nazywamy funkcją logarytmiczną.

Sporządzimy teraz wykres funkcji logarytmicznej, korzystając z następującego twierdzenia:

Dla każdego a różnego od 1 funkcja logarytmiczna o podstawie a jest ciągła w zbiorze R+.


Wykres funkcji :



Wykres funkcji logarytmicznej nazywamy krzywą logarytmiczną. Krzywe logarytmiczne o równaniach i są symetryczne względem osi x dla każdego .

Własności funkcji logarytmicznej:




    1. Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.
    2. Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.
    3. Funkcja ma jedno miejsce zerowe: x=1.
    4. Funkcja jest malejąca.




    5. Funkcja jest różnowartościowa.










    1. Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.
    2. Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.
    3. Funkcja ma jedno miejsce zerowe: x=1.
    4. Funkcja jest rosnąca.




    5. Funkcja jest różnowartościowa.






Własności logarytmów

  • twierdzenie o logarytmie iloczynu


    • Jeżeli a, x i y są liczbami dodatnimi oraz , to:



    Logarytm iloczynu liczb dodatnich jest równy sumie logarytmów czynników tego iloczynu.


  • twierdzenie o logarytmie ilorazu


    • Jeżeli a, x i y są liczbami dodatnimi oraz , to:



    Logarytm ilorazu liczb dodatnich jest równy różnicy logarytmów dzielnej i dzielnika.


  • twierdzenie o logarytmie potęgi


    • Jeżeli a, x są liczbami dodatnimi oraz , to dla dowolnego prawdziwa jest równość:



    Logarytm potęgi o podstawie dodatniej jest równy iloczynowi wykładnika potęgi i logarytmu podstawy tej potęgi.


  • twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu


    • Jeżeli a, b, x są liczbami dodatnimi oraz , to:





Logarytmy dziesiętne

Logarytmy o podstawie 10 nazywamy logarytmami dziesiętnymi lub briggsowskimi - od nazwiska angielskiego matematyka Henry Briggsa, który w 1614 roku wprowadził je po raz pierwszy.

Zamiast piszemy krótko , np.



Logarytmy dziesiętne znalazły duże zastosowanie w obliczeniach astronomicznych i inżynierskich. Z tego powodu zostały ułożone tablice wartości tych logarytmów (patrz: tablice) i skonstruowano suwak logarytmiczny. Obecnie znaczenie logarytmów zmalało ze względu na wprowadzenie do powszechnego użytku kalkulatorów i innych urządzeń liczących.


Równania i nierówności logarytmiczne

Równaniem logarytmicznym nazywamy takie równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu.


Nierównością logarytmiczną nazywamy taką nierówność, w której niewiadoma występuje tylko w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu.


Jak wiemy, wyrażenia logarytmowane i podstawa logarytmów muszą być dodatnie, przy czym podstawa logarytmu dodatkowo nie może być równa 1. Ograniczenia te wyznaczają dziedzinę równania lub nierówności logarytmicznej.

Jedną z metod rozwiązywania równań lub nierówności logarytmicznych jest doprowadzenie obu stron równania lub nierówności do logarytmy wyrażenia przy tej samej podstawie. Następnie wykorzystując różnowartościowość lub monotoniczność funkcji logarytmicznej o danej podstawie otrzymujemy związki między wyrażeniami logarytmowanymi. W najprostszych przypadkach możemy korzystać bezpośrednio z definicji logarytmu.

PRZYKŁADY:
  • rozwiąż równanie .


    • Zakładamy, że x+1>0 i x-1>0, czyli .

    Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu:



    Prawą stronę równania zapisujemy w postaci logarytmu:



    Korzystamy z różnowartościowości funkcji logarytmicznej:



    Rozwiązanie x=-3 jest sprzeczne z założeniem, a więc rozwiązaniem jest: x=3.

  • rozwiąż równanie .


    • Zakładamy, że x>0. Podstawiamy i otrzymujemy równanie:



    Wracamy do niewiadomej x i otrzymujemy:



    Korzystamy z różnowartościowości funkcji logarytmicznej:



  • rozwiąż równanie .


    • Zakładamy, że x>0 i , czyli .

    Dwukrotnie korzystamy z różnowartościowości funkcji logarytmicznej:



  • rozwiąż równanie .


    • Logarytmujemy obie strony równania:



    Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi:



  • rozwiąż nierówność , gdzie x>0.




    • Nie zmieniamy zwrotu nierówności, ponieważ funkcja jest rosnąca.



  • rozwiąż nierówność .


    • Zakładamy, że x-2>0 i x+2>0, czyli .



    Korzystamy z monotoniczności funkcji logarytmicznej:



    Po uwzględnieniu założenia, otrzymujemy:



Tekst pochodzi z serwisu fizyka.kopernik.mielec.pl - Copyright © 2003-